Pătratul

Bine ai venit! În această lecţie vom studia pătratul şi proprietăţile pătratului.

Putem defini un pătrat în două moduri:
1. Patratul este dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente.
2. Patratul este rombul cu un unghi drept.

Proprietățile pătratului

• are laturile opuse paralele două câte două AB || CD, AD || BC;
• are toate laturile congruente: AB ≡ BC ≡ CD ≡ DA;
• are toate unghiurile congruente, având măsura egală cu 90^o;
• diagonalele sunt congruente;
• diagonalele sunt perpendiculare;
• diagonalele se înjumătățesc: AO ≡ OC, BO ≡ OD;
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor.

Cum demonstrăm că un patrulater este patrat?

Un patrulater este patrat dacă este îndeplinită una din următoarele condiții:

• este paralelogram cu două laturi consecutive congruente și un unghi drept (vezi și lecția „Paralelogramul”);
• este paralelogram cu diagonalele congruente și perpendiculare;
• este dreptunghi cu două laturi consecutive congruente.

Perimetrul pătratului

Dacă notăm latura pătratului cu l, atunci perimetrul patratului se calculează după următoarea formulă:
P = 4l.

Aria pătratului

Formula de calcul pentru aria unui patrat este:
A = l².

Probleme rezolvate cu pătratul şi proprietăţile pătratului

Problema 1

Aflați lungimea laturii unui pătrat cu perimetrul de 22 cm.
Rezolvare. P = 4l = 22
l = 22:4
l = 5,5 cm.

Problema 2

Un dreptunghi are lățimea egală cu 60% din latura unui pătrat al cărui perimetru este 120 cm. Știind că cele două patrulatere au același perimetru, aflați lungimea dreptunghiului.

Rezolvare.
Notăm cu l– lățimea dreptunghiului, cu L– lungimea dreptunghiului și cu x– latura pătratului.
P_pătrat = 4x = 120
x = 120:4
x = 30;
l = 60% din x
l = 60/100 ^. 30 = 18.
P_dreptunghi = 2l + 2L = P_pătrat = 120
2l + 2L = 120
2^.18 + 2L = 120
36 + 2L = 120
2L = 120-36
2L = 84
L = 84:2
L = 42 cm.

Problema 3

Fie ABCD un pătrat, iar M un punct situat în interiorul acestuia astfel încât triunghiul MBC este echilateral. Aflați măsura unghiului AMD.
Rezolvare.

Dacă ABCD este pătrat, atunci ∡B=∡C=90^o.
Dacă MBC e triunghi echilateral, atunci ∡MBC=∡MCB=∡BMC=60^o.
∡ABM=∡DCM=90^o-60^o=30^o
MB=MC=BC pentru că triunghiul MBC este echilateral; dar BC=AB=DC pentru că ABCD este pătrat; de aici rezultă că AB=MB=MC=DC, deci triunghiurile ABM și DCM sunt isoscele.
Un triunghi isoscel are unghiurile alăturate bazei congruente, deci ∡AMB=∡MAB=(180^o-30^o):2=75^o
Analog ∡DMC=∡MDC= (180^o-30^o):2=75^o ;
∡AMD=360^o-(75^o+60^o+75^o)=150^o.

Acum e rândul tău 🙂 Încearcă să rezolvi singur următoarele probleme. Dacă ai reușit, scrie-ne și nouă răspunsurile într-un comentariu.

Temă.
Problema 1. Aflați latura unui pătrat cu perimetrul de 34 cm.
Problema 2. Un dreptunghi are lățimea egală cu două treimi din latura unui pătrat al cărui perimetru este 36 cm. Știind că cele două patrulatere au același perimetru, aflați lungimea dreptunghiului.