Impartirea fractiilor zecimale. Periodicitate

În această lecție voi prezenta Impartirea fractiilor zecimale și vom vedea ce înțelegem prin Fractii periodice. Lecția va cuprinde 5 părți:

1. Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală; transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale;
2. Fracții zecimale periodice; transformarea fracțiilor periodice în fracții ordinare;
3. Împărțirea fracțiilor zecimale la o putere a lui zece;
4. Împărțirea fracțiilor zecimale la un număr natural;
5. Împărțirea unei fracții zecimale la o altă fracție zecimală.

La final ți-am pregătit și un test online pentru verificarea cunoștințelor.

1.Împărțirea a două numere naturale cu rezultat fracție zecimală. Transformarea fracțiilor ordinare în fracții zecimale

O fracție ordinară se poate transforma în fracție zecimală împărțind numărătorul la numitor.

• Dacă numitorul conține doar puteri ale lui 2 și/sau 5, atunci se obține o fracție zecimală finită (cu număr finit de zecimale).
• Dacă numitorul nu conține puteri ale lui 2 sau 5, sau conține și alți factori, pe lângă 2 sau 5, se obține o fracție zecimală infinită (periodică). Despre această situație vom discuta în paragraful următor.

Exemplu:

Fracția 3/8 (3 supra 8) se poate scrie sub formă de fracție zecimală împărțind 3 la 8. Vom obține o fracție zecimală finită pentru că 8 este o putere a lui 2 și nu conține și alți factori (8=2³). Vom efectua împărțirea astfel:

• 8 în 3 se cuprinde de zero ori și trecem zero la rezultat; 0 ori 8 este 0 și-l trecem sub 3;
• efectuăm scăderea 3-0=3;
• lângă 3 adăugăm un 0 și punem virgula la rezultat;
• 8 în 30 se cuprinde de 3 ori; 3∙8=24; trecem 3 la rezultat și 24 sub 30;
• efectuăm scăderea 30-24=6;
• lângă 6 adăugăm un 0; 8 în 60 se cuprinde de 7 ori; 7∙8=56; trecem 7 la rezultat și 56 sub 60;
• efectuăm scăderea 60-56=4;
• lângă 4 adăugăm un 0; 8 în 40 se cuprinde de 5 ori; 5∙8=40; trecem 5 la rezultat și 40 sub 40;
• efectuăm scăderea 40-40=0. STOP.

2. Fractii zecimale periodice. Transformarea fracțiilor periodice în fracții ordinare

Dacă numitorul unei fracții ordinare nu conține puteri ale lui 2 sau 5, sau, pe lângă puterile lui 2 și 5 conține și alți factori, atunci prin împărțirea numărătorului la numitor se obține o fracție zecimală infinită (pentru că vom obține de fiecare dată același rest, iar împărțirea se poate continua la nesfârșit). Astfel de fracții zecimale se vor numi fracții periodice.

Cifra sau grupul de cifre de după virgulă care se repetă se numește partea periodică (sau perioada), iar cifra sau cifrele de după virgulă care nu se repetă formează partea neperiodică. O fracție zecimală se numește periodică simplă, dacă între virgulă și perioadă nu mai are alte zecimale. O fracție care are și alte zecimale între virgulă și perioadă se numește fracție zecimală periodică mixtă.

Exemple:

Haideți să vedem în continuare cum transformăm fracțiile zecimale periodice în fracții ordinare.

Pentru a transforma o fracție periodică simplă în fracție ordinară, vom proceda astfel:

• scriem la numărător tot numărul, fără virgulă, din care scădem numărul din fața perioadei;
• la numitor punem atâtea cifre de 9 câte cifre are perioada.

Exemple:

Pentru a transforma o fracție periodică mixtă în fracție ordinară, vom proceda astfel:

• scriem la numărător tot numărul, fără virgulă, din care scădem numărul din fața perioadei;
• la numitor punem atâtea cifre de 9 câte cifre are partea periodică și atâtea cifre de 0 câte cifre are partea neperiodică.

Exemple:

De obicei vom scrie rezultatul sub formă de fracție ireductibilă (care nu se mai poate simplifica).

3. Împărțirea fracțiilor zecimale la o putere a lui zece

Împărțirea unei fracții zecimale la o putere a lui 10 (adică la 10, 100, 1000, etc.) se face mutând virgula spre stânga peste un număr de cifre egal cu exponentul lui 10 (sau cu numărul de zerouri). Dacă nu avem suficiente cifre, mai adăugăm zerouri.

În acest mod vom transforma și fracțiile ordinare cu numitori puteri ale lui 10 în fracții zecimale.

Exemple:

23,45:10 = 2,345 (am mutat virgula spre stânga peste o cifră, pentru că 10 are un sigur zero);

123,47:100 = 1,2347 (am mutat virgula spre stânga peste două cifre, pentru că 100 are două zerouri)

1,84:10 = 0,184 (am mutat virgula spre stânga peste o cifră, pentru că 10 are un zero)

1,84:100 = 0,0184 (trebuie să mutăm virgula spre stânga peste două cifre și pentru că avem doar o cifră, vom mai pune un zero și încă un zero în fața virgulei).

4. Împărțirea fracțiilor zecimale la un număr natural

Împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural se face împărțind mai întâi partea întreagă la numărul natural, se scrie virgula la rezultat, apoi se continuă împărțirea în mod obișnuit, ca și la numere naturale; lângă ultimul rest se mai adaugă zero și se continuă până obținem restul zero.

Exemplu:

5. Împărțirea unei fracții zecimale la o altă fracție zecimală

Pentru a împărți două fracții zecimale, vom înmulți atât deîmpărțitul, cât și împărțitorul cu 10 sau 100 sau 1000 (etc.), astfel încât împărțitorul să devină număr natural, apoi se aplică algoritmul din paragraful anterior (împărțirea la un număr natural).

Exemple:

7,5:0,5 = 75:5 = 15 (am înmulțit ambele numere cu 10, pentru că 0,5 are o singură zecimală și prin înmulțire cu 10 devine număr natural)

3,278:0,2 = 32,78:2 = 16,39 (am înmulțit ambele numere cu 10, pentru că 0,2 are o singură zecimală și prin înmulțire cu 10 devine număr natural)

9,54:0,18 = 954:18 = 53 (am înmulțit ambele numere cu 100, pentru că 0,18 are două zecimale)

0,6144:0,24 = 61,44:24 = 2,56 (am înmulțit ambele numere cu 100, pentru că 0,24 are două zecimale).

Citește și lecția Înmulțirea fracțiilor zecimale.

Test online Impartirea fractiilor zecimale Fractii periodice

Te invit să rezolvi acest test cu zece întrebări, fiecare având câte un punct. Dacă răspunzi corect la toate întrebările, primești 10 puncte. Succes!