Metoda inductiei matematice

Metoda inductiei matematice se folosește pentru a demonstra propoziții matematice care depind de un număr natural n. Dezavantajul acestei metode constă în faptul că relația care trebuie demonstrată trebuie cunoscută dinainte. În continuare voi prezenta metoda sau principiul inducției matematice.

Metoda inducției matematice

Fie P(n) o propoziție matematică, n număr natural cu proprietatea că

n\geq a.

Dacă:

1.\quad  P(a) \quad adevărată.

2. \quad  \forall k\geq a, \quad implicatia \quad P(k) \rightarrow P(k+1) \quad este \quad adevarata,

Atunci:

 \quad  \forall n\geq a, \quad P(n)  \quad adevarata.

Implicația de punctul 2 se notează prescurtat astfel:

P(k) \Rightarrow P(k+1).

Etapa 1 se numește etapa de verificare și în această etapă se verifică dacă propoziția P(n) este adevărată pentru cea mai mică valoare pe care o poate lua n. Etapa 2 se numește etapa de demonstrație sau pasul de inducție. În această etapă demonstrăm că are loc implicația

P(k) \Rightarrow P(k+1).

Pentru a demonstra această implicație, vom presupune că P(k) este adevărată și demonstrăm că și P(k+1) este adevărată. Probabil vă veți pune întrebarea “De ce să presupunem că P(k) e adevărată?” Explicația acestui lucru este dată de tabelul de valori pentru implicația a două propoziții, tabel pe care l-ați studiat la capitolul de Logică matematică:

Observăm că implicația p → q este adevărată în primul, al doilea și al patrulea caz. Dacă propoziția p este falsă, atunci implicația p → q este întotdeauna adevărată. Și atunci mai rămâne de studiat doar ultimul caz, cel în care propoziția p este adevărată. Din acest motiv, în metoda inducției matematice, se pleacă de la ipoteza că P(k) este adevărată și rămâne de arătat că și P(k+1) este adevărată.

Exerciții rezolvate cu metoda inductiei matematice

Urmărește acest video pentru a înțelege mai bine cum putem demonstra propoziții matematice folosind principiul inductiei matematice.